327
з історії

164
учня

97
для 11 классу

303
відкореговано


Вашій увазі

510
кейсів
Останнє оновлення:
23.03.2017


Кейс-урок «Снежинки и фракталы»
Кейс-урок «Снежинки и фракталы»

Раздел: Математика и компьютеры

Уровень (класс): 10-11

Тема: Современная математика

Цель: Усвоить взаимосвязь математических и физических характеристик природных явлений на примере снежинки; ознакомиться с современными математическими подходами к описанию явлений и взаимосвязей в окружающем мире

Какая информация меня здесь ждет?

  • Почему снежинка – это фрактал?
  • Сколько видов снежинок существует?
  • Почему у всех снежинок шесть «лучиков»?
  • Есть ли «снежинки-инопланетянки»?
  • Какие фундаментальные и практические знания мне пригодятся?
  • Какой технике грязь не помеха?
  • Как сделать снежинку самому?
6 разверток по предметам, явлениям и практикам:
Вступление

Что такое снежинка? Маленькая «ледяная красота» невероятной сложной формы, которую сотворила природа! Но все ли снежинки уникальны: может природа-художник утомилась придумывать все новые формы снежинок. и их все-таки какое-то определенное количество? Тогда какое?

 

Почему математики называют снежинку идеальным примером фрактала? Да и что такое снежинка-фрактал с точки зрения математики?

Такая маленькая снежинка порождает целую метель «снежинковых» вопросов.

География

Снежинки образуют шубу планеты — снежный покров:

 

Представьте, количество снежинок, образующихся на планете за год, уже подсчитано! В одном кубическом метре снега находится 350 миллионов снежинок, а по всей Земле — 10 в 24 степени. Вес обычной снежинки всего около миллиграмма, редко он может достигать 2-3 мг.

Формы и особенности строения снежинки подобны различным народам, населяющим разные страны. В зависимости от погодных условий в разных местах выпадает «свой» снег. В Прибалтике и в центральных областях, например, часто идет снег в виде крупных, сложной формы разветвленных снежинок.

Весной 1944 года в Европе выпали хлопья размером до 10 сантиметров в поперечнике, похожие на кружащиеся блюдца. А в Сибири наблюдались снежные хлопья диаметром до 30 сантиметров. Для этого феномена необходимо полнейшее безветрие, ведь чем дольше снежинки путешествуют, тем больше сталкиваются и сцепляются друг с другом. Поэтому при низкой температуре и сильном ветре снежинки сталкиваются в воздухе, крошатся и падают на землю в виде обломков — «алмазной пыли».

 

Какие снегопады были самыми сильными в мире?

 

Идет ли снег в «жарких» странах? Да идет! Например, в 2008 году снег выпал в Кении (Африка) и в пустыне Невада (США). В 2015 году снегом накрыло Алжир, а в 2016 уже Тунис:

 

Бывает ли разноцветный снег? Да, снег бывает не только белым. В арктических и горных регионах розовый или даже красный снег — обычное явление. Виной тому водоросли, живущие между кристаллов:

 

Но известны случаи, когда снег падал с неба уже окрашенный. Так, на Рождество 1969 года на территории Швеции выпал черный снег. Скорее всего, это впитанная из атмосферы копоть и промышленные загрязнения. Или черный снег Гренландии:

 

В 1955 году около Даны, штат Калифорния, выпал фосфоресцирующий зеленый снег, унесший несколько жизней и причинивший тяжкий вред здоровью жителям, рискнувшим попробовать его на язык. Возникали разные версии этого феномена, даже атомные испытания в штате Невада.

 

Однако, все они были отвергнуты и происхождение зеленого снега осталось тайной.

А если снежинки встречаются с пылевым циклоном, например из Африки, то снег может стать фиолетовым:

 

А еще снежинки очищают воздух от пыли и гари. Вот почему легко дышать во время снегопада. Снег также отражает губительные спектры солнечных лучей. Наверное, поэтому у северян отсутствуют многие болезни, которые переносят южане. Но полностью «снеговая медицинская география» еще не изучена.

Задание:


Попробуйте составить «снежную карту» Земли. Для этого используйте обычную контурную карту, нанеся на нее:

• территории, где снег – частый или постоянный «гость»

• территории, где снег носит сезонный характер (можете обозначить период снежного покрова)

• территории, для которых снег нехарактерное, чрезвычайно редкое природное явление (можете проставить даты таких неожиданных снегопадов)

• цветными символами можете обозначить места, где выпадал цветной снег.

Астрономия

А какие снежинки падают на других планетах? И падают ли?

На Марсе выпадает как привычный для нас снег, так и снег из твёрдой углекислоты. Помимо постоянных полярных шапок из обычного льда, на Марсе регулярно образуются сезонные шапки из углекислотного, более известного как «сухой» лёд.

На Титане, спутнике Сатурна, метан, обычно выпадающий в виде дождя, в холодных областях выпадает в виде снега (подобно тому, как это на Земле происходит с водой). Метановый «снег» выглядит так:

 

Поверхность Энцелада тоже вся покрыта снегом:

 

Тритон, спутник Нептуна, большей частью покрыт слоем снега, что делает его довольно ярким (он отражает около 85 % света). Снег Тритона состоит из замёрзших азота, воды, углекислого газа, небольших примесей угарного газа, метана и этана. Он имеет розовый оттенок, который ему придают более сложные соединения, образующиеся из метана и азота под действием ультрафиолетового излучения и космических лучей.

 

Толщина слоя снега и льда вблизи полюсов Тритона, вероятно, достигает сотен метров.

Физика
Снежинка — снежный или ледяной кристалл, чаще всего в форме шестилучевой по концам звёздочек или шестиугольных пластинок. Во время очень сильных морозов (при температуре ниже −30 °C) ледяные кристаллики выпадают в виде «алмазной пыли» — в этом случае на поверхности земли образуется слой очень пушистого снега, состоящего из тоненьких ледяных иголочек.

 

Обычно же в процессе своего движения внутри ледяного облака ледяные кристаллики растут за счет непосредственного перехода водяного пара в твердую фазу. Как именно происходит этот рост, зависит от внешних условий, в частности от температуры и влажности воздуха.

Характер зависимости ученые в общих чертах выявили, однако объяснить его пока не смогли. В одних условиях ледяные шестигранники усиленно растут вдоль своей оси, и тогда образуются снежинки вытянутой формы — снежинки-столбики, снежинки-иглы.

В других условиях шестигранники растут преимущественно в направлениях, перпендикулярных к их оси, и тогда образуются снежинки в виде шестиугольных пластинок или шестиугольных звездочек. К падающей снежинке может примерзнуть капелька воды — в результате образуются снежинки неправильной формы.

Так почему же лучей (углов) шесть? Этот вопрос занимает умы исследователей уже давно. Еще Иоганн Кеплер, известный астроном, подарил на Новый, 1611 год своему благотворителю необычный подарок. Ученый подарил своему покровителю остроумный, обоснованный научный труд на тему того, почему снежинки (если быть более точным, то кристаллы льда) имеют шесть углов. Так как микроскопы и дифракционные приборы еще не были изобретены в то время, никто на самом деле не знал, почему кристаллы льда имели именно такую форму.

 

Шестиугольная симметричная форма кристалла льда является внешним проявлением внутреннего расположения атомов во льду. Каждая молекула льда имеет форму буквы V, у которой угол между сторонами равен 109 градусов. Молекулы льда связаны вместе в виде открытой кристаллической решетки и образуют сложенные слои с шестиугольной симметрией.

 

Каждая молекула окружена четырьмя соседями, так что в каждой группе одна молекула расположена в центре, а другие четыре по углам четырехгранника, все на одинаковом расстоянии друг от друга. Молекулы в основном удерживаются вместе с помощью электростатического притяжения, которое существует между положительным зарядом атома водорода и отрицательными электронами соседнего атома кислорода. Это называется водородной связью.

Кристаллы льда растут в виде тонких шестиугольных пластинок или шестиугольных колонок, в зависимости от температуры. Они имеют две грани – базисная грань и грань призмы.

Базисная грань – это та грань, которая, как правило, имеет шестиугольную симметричность. Например, базисная грань – это поверхность, которую вы видите. Обе поверхности и верхняя и нижняя, являются базисными гранями. Грань призмы перпендикулярна базисной грани. Она повернута от ветви или от части ветви кристалла. Эта грань не имеет шестиугольной симметрии. При определенных температурах базисная грань растет быстрее, чем грань призмы, в результате чего образуются длинные шестиугольные колонны или иголки.

При других температурах грань призмы растет быстрее, в результате чего образуют тонкие шестиугольные пластины звездообразных кристаллов, напоминающих папоротник и дендриты. Также папоротникоподобная дендритная природа кристаллов вызывается влажностью. Чем выше влажность, тем более волнистыми и перистыми будут выглядеть кристаллы-снежинки.

Почему снег скрипит по ногами? Снег состоит из ледяных кристаллов — снежинок. Между ними много воздуха. Под давлением снег уплотняется, воздух из него выдавливается, снежинки трутся друг о друга и ломаются, издавая при этом звуки, которые воспринимаются как скрип.

Но звуки слышны не всегда. Когда мороз не очень сильный, поверхность снежинок покрыта тончайшим слоем жидкой воды. При температуре около −10 °C его толщина составляет всего один молекулярный слой, а при −1 °C она в сотни раз больше. Вода глушит звук ломающихся кристаллов, поэтому громкий скрип слышен только в морозную погоду.

Часто ошибочно полагают, будто вода на снежинках образуется из-за снижения температуры плавления, когда снег сдавливают. Расчеты, однако, показывают, что этот эффект слишком мал для того, чтобы заглушить скрип снега при слабом морозе. Постоянное же присутствие меняющегося по толщине жидкого слоя на поверхности снежинок приводит еще и к тому, что они смерзаются. У свежевыпавшего пушистого снега связи между кристаллами слабые, а у слежавшегося наста прочные. Их разрушение тоже порождает звуки, но более низкие. Они воспринимаются не как скрип, а скорее как шорох и хруст, и слышны даже при температуре, которая близка к нулевой.

 

Почему снег скользкий? Давление, которое оказывается на снег, снижает температуру плавления льда. Под воздействием давления лед может таять и при низких температурах (ниже 0 градусов). Это связано с тем, что вода при замерзании расширяется, давление же препятствует этому расширению, а значит и замерзанию.

При возникновении трения, когда по снегу перемещаются санки или лыжи, выделяется тепло. Из-за этого лед начинает таять, появляется «водяная пленка» (смазка), которая и вызывает скольжение. Трение тоже зависит от многих факторов: от величины скользящей поверхности – чем она больше, тем больше трение, от температуры снега, материала, из которого сделаны коньки или лыжи и скорости перемещения.

 

Поразительная изменчивость состояния снега – льда в природе связана с тем, что он все время участвует в фазовых переходах: лед – вода, лед – пар и наоборот. Интенсивность этих процессов особенно велика в условиях, близких к так называемой тройной точке, когда твердая, жидкая и газообразная формы состояния вещества находятся в термодинамическом равновесии (t0 = +0,01°С, p0 = 6,03•10-3 атм). В окрестностях этой точки сильно меняются характеристики снежного покрова, в том числе и такая важная для нас, как коэффициент трения скольжения.

Попытаемся оценить вклад и того, и другого фактора на плавление снега или льда. Воспользуемся соотношением Клапейрона–Клаузиуса, характеризующим процессы перехода вещества из одной фазы в другую:

 

Оказывается, смещение точки плавления льда на 1К произойдет при избыточном давлении, равном примерно 1,33•107 Па (133 атм), тогда как давление, производимое коньком, составляет приблизительно 3•106 Па (30 атм), а лыжами и того меньше. Следовательно, смазка, особенно в морозный день, образуется главным образом за счет трения.

Трение же, в свою очередь, зависит от температуры снега (льда), скорости перемещения, материала лыж (коньков), величины скользящей поверхности и от давления. Трение минимально при скольжении по сухому снегу при температуре, близкой к 0°С. При увеличении температуры снег увлажняется, а трение начинает возрастать пропорционально увлажнению.

Увеличением скорости скольжения при фиксированной температуре снега достигается весьма значительное снижение трения. Так, например, при увеличении скорости с 0,03 м/с до 5 м/с, коэффициент трения уменьшается почти в 10 раз, однако с понижением температуры он возрастает. При температуре –25°С сопротивление снега при малых скоростях скольжения экспериментальных лыж (полозьев), изготовленных из стали, удваивается по сравнению с 0°С, а изготовленных из меди и некоторых пластиков возрастает в 3-4 раза и приближается к величине скольжения по сухому песку.

В том, что давление действительно смещает точку плавления льда, можно убедиться на многочисленных фактах преодоления препятствий сползающими по склонам гор массивными ледниками.

Там, где ледник упирается, например, в выступ скалы, создается громадное давление, и лед начинает подтаивать. Образующаяся при этом вода вытесняется в ближайшие окрестности, где она уже не находится больше под давлением, и потому вновь замерзает. Ледник как бы обтекает препятствие на своем пути. Это величественное движение ледников приспосабливается к извилинам и спускам в горных долинах подобно водяному потоку. И, опять-таки, подобно водяному потоку середина ледника движется быстрее его кромок.

Математика
Итак, математики называют снежинку фракталом. Что же такое фрактал? Фрактал (от латинского «сломанный, разбитый») — математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, которая отличается от топологической. Поэтому фракталы отличаются от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.

Снежинка – своего рода фрактальная кривая, описанная еще в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом.

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха:

 

Кривая Коха обладает такими свойствами:

• Кривая Коха нигде не спрямляема.

• Кривая Коха не имеет самопересечений.

• Кривая Коха имеет промежуточную (то есть не целую) размерность, поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.

Кривая Коха имеет несколько вариаций, в том числе двухмерные и пространственные. «Плоские» вариации:

 

«Объемные» вариации:

 

Где применяются фракталы или фрактальные алгоритмы:
Для сжатия изображений: Основа метода фрактального кодирования — это обнаружение самоподобных участков в изображении. Впервые возможность применения теории систем итерируемых функций к проблеме сжатия изображения была исследована Майклом Барнсли и Аланом Слоуном.
В медицине: Сам по себе человеческий организм состоит из множествафракталоподобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т.д.

 

Поэтому учёные задумались можно ли применять фрактальные алгоритмы для диагностики или лечения каких-либо заболеваний? Оказывается возможно.

Например теория фракталов может применятся для анализа электрокардиограмм. В последние годы в развитых странах, несмотря на очевидные успехи в разработке новых лабораторных и инструментальных методов диагностики и лечения сердечнососудистых заболеваний, продолжается их рост.

Периоды биоритмов, и, в частности, сердечного ритма, длительностью порядка часа, суток и более, можно изучать традиционными методами гистограммного или спектрального анализа. Однако оценка ритмов фрактальной размерности позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях процессов в организме и развитии конкретных заболеваний.

В геологии и геофизике: Не секрет что побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий.

 

В физике: Например, в физике твёрдых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твёрдых, пористых, губчатых тел, различных аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы.

Турбулентные потоки хаотичны, и поэтому их сложно точно смоделировать. И в этом случае тоже помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных систем. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени. Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

 

В телекоммуникациях: В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн.

В сфере сетевых технологий было проведено множество исследований, показывающих самоподобие траффика передаваемого по разного рода сетям. Особенно это касается речевых, аудио и видео сервисов. Поэтому сейчас ведутся разработки и исследования возможности фрактального сжатия траффика передаваемого по сетям, с целью более эффективной передачи информации.

Задание:


Проведите мини-исследование «Фракталы вокруг нас». Присмотритесь к окружающему миру, попробуйте увидеть, где еще встречаются фракталы кроме снежинок. Опишите один из вариантов и проиллюстрируйте свое описание.
Искусство
Снежинки не просто природное произведение искусства. У снежинок был собственный «портретист» - Уинстон Алвин Бентли. Он усовершенствовал процесс их «ловли» на чёрном бархате таким образом, что изображения могли быть получены, прежде чем объект растает или возгонится. Вот созданные ним «портреты снежинок»:

 

А современные фотографы применяют технику макрофотографии для создания таких «портретов». Например, фотографии Алексея Клятова:

 

Снежинкам посвящают и картины. Напрмер,специально для аукциона Sotheby’s в интересах благотворительного фонда Элтона Джона по борьбе со СПИДом в ноябре 2013 года 8 известных современных художников пожертвовали свои работы. И одним из главных лотов стала картина Инки Эссенхай «Снежинка (розовая)»:

 

А сколько же видов «снежинок-моделей» существует?

Считается, что не бывает двух одинаковых снежинок. Например, Кеннет Либрехт — автор самой большой и разнообразной коллекции снежинок — говорит: «Все снежинки разные, и их классификация — это во многом вопрос личных предпочтений».

Простые снежинки, например, призмы, образующиеся при низкой влажности, могут выглядеть одинаково, хотя на молекулярном уровне они отличаются. Сложные звёздчатые снежинки обладают уникальной, отличимой на глаз геометрической формой. И вариантов таких форм, по мнению физика Джона Нельсона из Университета Рицумэйкан в Киото, больше, чем атомов в наблюдаемой Вселенной.

Снежинкам посвящают книги. И не только сказки! Например: http://www.popsci.com/this-book-is-a-complete-guide-to-the-science-of-snowflakes?src=SOC&dom=fb

Это прекрасно иллюстрированная книга, в которой мастерски соединены научная информация и интересные факты «из жизни снежинок».

Вопрос:


На каких картинах известных художников изображен снег?
Релакс/Эмоции
Как сделать снежинку самому? Да очень просто, ответит почти каждый: взять бумагу и вырезать! Но даже бумажная снежинка может стать настоящим произведением искусства. Вот несколько вариантов бумажных снежинок:

Можно превратить снежинку в балерину:

А можно действовать иначе: Вырезаем контур снежинки. Из гофрированной бумаги нарезаем маленькие квадратики. Снежинку смазываем клеем и с помощью палочки приклеиваем квадратики. Это называется методом торцевания. «Алгоритм» работы будет выглядеть так:

 

Можно снежинку и вывязать. Начать лучше с более простых снежинок, постепенно переходя к сложным моделям. Такой вязаный декор будет очень домашним, уютным и вместе с тем модным, современным и креативным: 

Вот еще идеи для снежинок:

 

Ну а если хочется целого снегопада, то можно попробовать его сделать так:

А так можно изготовить искусственный снег:

Он станет прекрасной основой для экспериментов или «научного шоу» для друзей:

Выбирайте «свой» вариант снежинок… Удачи и приятного времяпровождения!

Подведение итогов урока-кейса

Наименование

Содержание

1

Результаты урока-кейса можно дополнить такими находками учеников

 

2

Какие 3 сайта помогли найти важную информацию?

http://edufuture.biz/

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%85%D0%B0

 

 

3

В помощь ученику и коучу:

http://edufuture.biz/

http://pinme.ru/pin/517526c7bf04703d6e0000e7/

http://www.chudopredki.ru/8261-kak-sdelat-snezhinku-foto-i-poshagovye-master-klassy.html

http://euromasterclass.ru/k-prazdniku/samodelki-k-Novomu-godu-i-Rogdestvu/sneginka-iz-atlasnoy-lenty-svoimi-rukami

 

4

Где брать информацию для кейса:

http://edufuture.biz/

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%85%D0%B0

http://elementy.ru/posters/fractals/Koch

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BD%D0%B5%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B0

http://m-rush.ru/theory/item/184-fraktaly-na-praktyke.html

http://dikson.narod.ru/aticle/snowflake.html

http://www.origins.org.ua/page.php?id_story=911

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BD%D0%B5%D0%B3

http://biguniverse.ru/photos/sistema-saturna-zimoj-2013-2014-goda/

http://mentalfloss.com/article/12596/what-weather-other-moons-and-planets

http://uduba.com/168039/Skazochnyie-makro-fotografii-snejinok

http://art-news.com.ua/news/1116675.html

http://pinme.ru/pin/517526c7bf04703d6e0000e7/

http://www.chudopredki.ru/8261-kak-sdelat-snezhinku-foto-i-poshagovye-master-klassy.html

http://euromasterclass.ru/k-prazdniku/samodelki-k-Novomu-godu-i-Rogdestvu/sneginka-iz-atlasnoy-lenty-svoimi-rukami

http://www.vokrugsveta.ru/quiz/745/

http://www.rae.ru/meo/?section=content&op=show_article&article_id=5902

http://hronika.info/fotoreportazhi/114254-samye-silnye-snegopady-v-istorii-chelovechestva-foto.html

http://www.planet-nwes.ru/silnejshie-snegopady-v-tunise/

5

Локация проведения урока-кейса

Урок – кейс проходит в классе. Возможно проведение в музее, библиотеке.

6

Соревновательность:

Команды мальчиков и девочек.

Счет составил:….

Задания для них:

1. Подумайте, где еще в природе встречаются фракталы?

2. Подумайте, будет ли схожей кристаллическая решетка обычного снега и снега из метана? Ответ поясните.

7

Домашнее задание

Попробуйте изготовить снежинку или искусственный снег сами. По результатам подготовьте презентацию или мастер-класс.

8

Продолжительность:

90 мин (спаренный урок)

 

9

Возможность схемы проведения с учеником-дублером

 

возможно

10

Полученные знания и наработанные компетенции:

  • Расширить и систематизировать знания о природных явлениях.
  • Умение быстро найти необходимую информацию по теме.
  • Получение комплексного виденья природных явлений и закономерностей.
  • Умение прикладного использования полученных теоретических знаний и практических навыков по математике,  физике и других разделах.

11

Теги:

Кристаллическая решетка, снежный покров, фрактал, кривая Коха, математическое множество, макрофотография, шестиугольная симметрия, водородная связь

12

Авторы:

Грабовская Лариса Леонидовна

13

Принимали участие в апгрейде кейса:

 

The End

«Знання завжди повинні бути свіжими!»

Цікаві факти

Протягом життя у людини виділяється така кількість слини, що нею можна заповнити два басейни середнього розміру.

Знайшли помилку? Виділіть текст та натисніть Ctrl + Enter, ми будемо Вам дуже вдячні!

Знайшли помилку? Виділіть текст та натисніть Ctrl + Enter, ми будемо Вам дуже вдячні!